• 168月

    緑色の部分の面積を求めよたまには、頭の体操を。

    10cmの正方形の4端から、
    半径10cmの円弧を描きます。
    そうすると、図のような図形に
    なります。

    この時、緑色の部分の面積は、
    いくらになるでしょうか?

    中学生の時に、同じ絵で、
    ラグビーボール状の部分の面積を
    出す問題は、良く出題されていたかと。

    この問題、中学1年くらいの頃に、
    かなり苦労して解いた記憶が…。

    わかった方、コメント、あるいは、トラックバックで
    解答してみてくださいませ。

    (8/17 1:40追記)
    簡単な解法は、続きにて。

    A1.gifまずは、赤い点線を補助線として
    引きます。
    2等辺三角形ができるのが
    お分かりいただけるでしょう。
    ということで、この線は正方形の辺を
    1/2に分断します。

    斜辺が10cm,短辺が5cmの
    直角三角形ができてますから、
    長辺(赤点線部分)は、5√3cmです。
    1:2:√3の三角形だから、赤2重の角度は
    30度ということになります。

    あとは、青い囲みの台形の面積を出します。
    (10+(10-5√3))/2*5 = 50-12.5√3

    そこから30度の円弧の面積を引けば、
    ピンク色部分の面積が計算できます。
    50-12.5√3-100*pai*30/360
    =50-12.5√3-25/3*pai

    ここまで分かれば、濃緑の部分の面積も
    すぐに計算できますよね。
    100-100*pai*90/360-(50-12.5√3-25/3*pai)*4
    =100-25*pai-200+50√3+100/3*pai
    =-100+50√3+25/3*pai

    最後に、ラグビーボール状の面積から
    濃緑の部分2つを引けば、答えです。
    (100*pai*90/360)*2-100-(-100+50√3+25/3*pai)*2
    =50*pai-100+200-100√3-50/3*pai
    =100/3*pai+100-100√3
    =100(pai+3-3√3)/3

    というわけで、概算で約31.5という答えになりますです。

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    Filed under: 雑学
    2004/08/16 12:10 pm | 8 Comments

8 Responses

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  • ふらぼの Says:

    円周率3.14で計算すると答えは28.5?
    なにげに苦労してしまいました。
    これではずれだとショック大きいです・・・

  • MacBS Says:

    ふらぼのさん、コメントありがとうございます。

    残念ですが、不正解のようですね。
    円周率を3.14とすると、答えは約31.5になります。

    ちなみに、ラグビーボール状の部分の面積は、約57ですね。

    ヒントとしては、円弧と円弧の交点に注目です。
    途中、補助線を1本引いて、台形の面積を計算したりしますですね~。

  • nako Says:

    100(π+3-3√3)/3
    で良いですよね?

  • Pafuxu Says:

    http://www5a.biglobe.ne.jp/~bebeshi/main/c3/c3_005.htm
    ここに書かれた解き方でいいということでしょうか?
    「補助線を1本引いて」というところに引っかかっているのですが…。

  • MacBS Says:

    nakoさん、ご名答です。
    まさにその通りでございます。

    何もプレゼントはございませんが、拍手をお送りいたしますです。
    パチパチパチ♪

  • nako Says:

    わーい (^_^)/

    30分以上かかりました(汗)

  • MacBS Says:

    Pafuxuさん、コメントありがとうございます。

    もちろん、ご指摘いただいた解法も正しいと思います。
    解き方はいくつかありますからね。

    要点は、内部に正三角形ができてる点ですね。
    上の扇の角度が30度になってるのに気づけば、解けたも同然かと。

  • MacBS Says:

    nakoさん、30分で解ければスゴイと思いますよ。
    私が初めて解いた時は、丸一日くらい悩みましたから。
    ちなみに、中学の頃の数学教師は解けませんでした。(爆)